Giá trị cực tiểu đó gần giá trị nào nhất sau đây?

Bài toán: Cho mạch điện xoay chiều $RLC$ mắc nối tiếp. Mắc vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế $U=100\sqrt{5}\left(V\right)$ và tần số thay đổi được. Biết rằng với mọi giá trị của tần số đang xét thì hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm thuần không gấp quá $\sqrt{3}$ lần hiệu điện thế hai đầu điện trở. Khi thay đổi tần số tới  $f=f_{1}$ thì $U_{RL}-U_{L}$ đạt cực tiểu. Khi đó hiệu điện thế hai đầu tụ điện gấp hai lần hiệu điện thế hai đầu cuộn cảm. Giá trị cực tiểu đó gần giá trị nào nhất sau đây?

A. $30\left(V\right)$

B. $21 \left(V\right)$

C. $13\left(V\right)$

D. $40\left(V\right)$

Lời giải:

Khi thay đổi tần số tới  $f=f_{1}$ thì $$U_{RL}-U_{L}=\frac{U\sqrt{R^2+Z_L^2}}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}-\frac{U.Z_L}{\sqrt{R^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}}=\frac{U.R^2}{\left(\sqrt{R^2+Z_L^2}+Z_L\right)\left(\sqrt{R^2+Z_L^2}\right)}.$$

Từ đây chúng ta có $U_{RL}-U_{L}$ đạt cực tiểu khi và chỉ khi biểu thức $\left(\sqrt{R^2+Z_L^2}+Z_L\right)\left(\sqrt{R^2+Z_L^2}\right)$ đạt cực đại.

Mà theo bài, ta luôn có $U_L \leq U_R\sqrt{3}$ nên $Z_L \leq R\sqrt{3}$, vậy nên biểu thức $\left(\sqrt{R^2+Z_L^2}+Z_L\right)\left(\sqrt{R^2+Z_L^2}\right) \leq 2R^2\left(2+\sqrt{3}\right)$

Thay điều này vào biểu thức của $U_{RL}-U_L$ ta có GTNN bằng $\frac{100\sqrt{5}}{2\left(2+\sqrt{3}\right)} \approx 30\left(V\right)$

Chọn đáp án A