Hệ số công suất của đoạn mạch lúc này là:

Toán học và vật lí từ xưa đến nay luôn có mối quan hệ gần gũi. Trong 3 môn khối A thì Toán và Lí gần với nhau hơn là với Hóa. Các bài Vật lí (nhiều bài) kiến thức vật lí chỉ là bề ngoài, ẩn chứa bên trong là ý niệm về các công cụ toán học.
1.Với việc giải bài:
Nhiều khi giải bằng công cụ Toán nhanh hơn việc áp dụng các phương pháp giải Lí bình thường....
2. Với việc chế đề:
Nhiều khi người ta sáng tác bài Vật lí dựa trên các bài toán quen thuộc.

Bài toán 1: Cho mạch điện xoay chiều AB, AN chứa cuộn dây, NB chứa tụ điện. Đặt một hiệu điện thế không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB. Biết giá trị của tụ có thể thay đổi được và điện áp hai đầu đoạn mạch AN luôn sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc $\varphi $. Điều chỉnh giá trị của tụ để giá trị ${{U}_{AN}}+{{U}_{NB}}$ đạt giá trị cực đại. Hệ số công suất của đoạn mạch lúc này là:

A. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$.

B. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\sin \varphi } \right)}^{2}}}}$.

C. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \cot \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$.

D. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \cot \varphi -\frac{1}{\sin \varphi } \right)}^{2}}}}$
Hướng 1:

Ta có $u_{AN}$ lệch pha với $u_{NB}$ một góc là $\alpha=90+ \varphi$.
Ta có:
$$U^2=U_{AN}^2+U_{NB}^2-2U_{AN} U_{NB} \cos \alpha .$$
Theo Cauchy- Schwarz:
$$U_{AN}^2+U_{NB}^2 \geq \frac{(U_{AN} +U_{NB})^2}{2}.$$
Theo AM-GM:
$$U_{AN} U_{NB} \leq \frac{(U_{AN}+U_{NB})^2}{4}.$$
Do đó:
$$U^2 \geq X^2 + \frac{1}{2} X^2 \cos \alpha.$$
Với:
$$X=U_{AN}+U_{MB}.$$
Dấu bằng xảy ra khi:
$$U_{AN}=U_{NB}.$$
Từ đó:
Góc giữa $u_{AN}$ và $u$ bằng góc giữa $u_{NB}$ và $u$ và bằng $\frac{\alpha}{2}$.
Vậy góc giữa $u$ và $i$ là $45-\frac{\varphi}{2}$.
Sau khi biến đổi:
Chọn $A$

Hướng 2:
Do cuộn dây hợp dòng điện góc $\varphi $ nên cuộn dây chứa $r$
suy ra : ${{Z}_{L}}=\tan\varphi .r$
Ta có :
${{U}_{AN}}+{{U}_{NB}}={{U}_{C}}+{{U}_{rL}}=\frac{U\left( {{Z}_{C}}+\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}} \right)}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$

Đặt $f(x)=\frac{x+\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( x-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}}}\left( {{Z}_{C}}=x \right)$

$${f}'(x)=\frac{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}+{{Z}_{L}}.\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}-x\left( {{Z}_{L}}+\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}} \right)}{\sqrt{{{\left( x-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}.\left( {{\left( x-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}} \right)}$$
$$f'(x)=0 \Leftrightarrow x= \sqrt{r^2+{Z_L}^2}$$
Dựa BBT suy ra $$f\left( {{Z}_{C}} \right)max\Leftrightarrow {{Z}_{C}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}=\frac{r}{cos\varphi }$$
Vây:$$\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$$.

Câu hỏi: Trong dao động điều hòa, đường biểu diễn mỗi liên hệ giữa các cặp đại lượng sau, những đường nào không phải là đường thẳng?

      (1) Đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và vận tốc.

      (2) Đường biểu diễn mối liên hệ giữa gia tốc và vận tốc.

      (3) Đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và gia tốc.

      (4) Đường biểu diễn mối liên hệ giữa động năng và thế năng.

      (5) Đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và thế năng.

      (6) Đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và cơ năng.

      A. (1), (2), (4), (5), (6)       
      B. (1), (2), (4), (5)
      C. (1), (2)
      D. (1), (2), (5)

Phân tích: Câu này là một trong những câu rất điển hình ở trong các đề thi của những năm tiếp theo và đây thuộc loại những câu khó. Lí do nó thuộc loại câu khó chính là bởi vì một câu người ta có thể khoanh vùng hết kiến thức nội dung của chương trình hoặc một chương. Dựa vào những kiến thức của chương đó, người ta đưa ra những mệnh đề, và yêu cầu của họ với các em là cái gì? Yêu cầu đó là tìm ra mệnh đề. Với loại câu chứa nhiều mệnh đề như thế này thì các em làm như thế nào? Kinh nghiệm để giải loại toán này, trước hết là các em cần xác định yêu cầu người ta hỏi các em là cái gì, và sau đó đọc đầy đủ tất cả các mệnh đề và xem mệnh đề nào thỏa mãn yêu cầu bài cho. Sau đó, việc còn lại của bài toán là tổng hợp các mệnh đề đó mà thôi, mà không cần quá nhiều vất vả.

      Trong bài toán này, người ta hỏi là: “Trong dao động điều hòa, đường biểu diễn mỗi liên hệ giữa các cặp đại lượng sau, những đường nào không phải là đường thẳng?”, tức là những “bé” nào thẳng chúng ta loại ra.

+ Đường thứ nhất là đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và vận tốc, chúng ta viết ở đây, li độ(x) và vận tốc (v), cái này các em biết rồi: $\frac{x^2}{A^2}+\frac{v^2}{\omega^2A^2}=1$, vậy đây chính là elip đúng không nào!

+ Đường biểu diễn mối liên hệ giữa vận tốc và gia tốc, chúng ta cũng tương tự như vậy, chúng ta có elip.

+ Đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và gia tốc thì đây là đường thẳng: a=-$\omega^2$ x.

      Ba “bé” này đối với các em thì cực kì đơn giản, nhưng ba đường tiếp theo thì sao?

+ Đường biểu diễn mối liên hệ giữa động năng và thế năng thì nhiều em lại nhầm em “bé” này với đường parabol, lí do, vì các em nhìn thấy đâu đó là $x^2, v^2$ gì đó, như vậy, ta lại nhầm luôn là elip, vì thấy $x^2$ và $v^2$ thì không tròn thì elip, không elip thì hypebol, đúng không nào? Đó chính là sai lầm. Các bạn lưu ý cần xác định rõ và chính xác người ta hỏi là cái gì? Bài này là hỏi mối liên hệ giữa động năng và thế năng thì chúng ta nhớ rằng là đường biểu diễn giữa động năng và thế năng là một đường thẳng, vì lí do vô cùng đơn giản, đó là chúng ta có Wđ+ Wt= W, mà $W$ lại là một hằng số, lúc đó, chúng ta có phương trình là $y + x = C$, được chưa các em? Đây chỉ có thể là đường thẳng. Người ta hỏi là không phải là đường thẳng thì đường nào không phải đường thẳng thì các em gạch đi, $(3)$ là đường thẳng này, $(4)$ cũng là đường thẳng luôn, được chưa nào?

+ Đường số $(5)$ là đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và thế năng chính là parabol, vì chúng ta biết rằng công thức liên hệ giữa thế năng và li độ là: $W=\frac{1}{2}kx^2$,được chưa các bạn?

+ Đường số $(6)$: đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và cơ năng thì nhiều bạn nhầm là đường biểu diễn mối liên hệ giữa li độ và cơ năng lại là một đường parabol, vì các bạn thấy là cái gì? Các bạn thấy cơ năng được xác định theo công thức $W=\frac{1}{2}kA^2$ và quy luôn cho đây là cái gì? $W$ chính bằng một hằng số nào đó nhân với $x^2$, và nghĩ luôn ở đây là parabol, nhưng các bạn không để ý rằng “bé” này là một hằng số, thì tức là với li độ bằng bao nhiêu đi chăng nữa, thì cơ năng không hề phụ thuộc vào li độ, do đó, ở đây đường biểu diễn là đường thẳng, phải không các em? Chúng ta có kết quả là ở đây $(6)$ cũng là một đường thẳng, nhưng nhiều bạn nhầm $(6)$, thậm chí nhầm cả $(4)$, và đó là lí do tại sao, chúng ta có những kết quả khác đi so với đáp án mà đề bài ra. Vậy đáp án của câu này là $(1), (2) (5)$ và thỏa mãn $(1), (2), (5)$ thì chỉ có thể là D. Được chưa nào?

Bình luận: Các bạn cần để ý cho mình những loại bài toán theo kiểu như thế này, là kiểu người ta ra dưới dạng các mệnh đề, và đó là những câu hỏi khó, chứ không phải là những câu hỏi dễ. Tại sao mình lại nói như vậy, là bởi kiểu câu này, vừa tổng hợp kiến thức của cả một dạng, một chủ đề, một chương hay toàn bộ kiến thức Vật lí luyện thi đại học, lại vừa đòi hỏi sự tinh ý trong quan sát, nhanh nhạy trong chọn lựa hay gạch bỏ các câu, các đáp án không phù hợp với bài ra.

Bài toán: Ở Việt Nam phổ biến loại sáo trúc có sáu lỗ bấm, một lỗ thổi và một lỗ định âm (là lỗ để sáo phát ra âm cơ bản). Các lỗ được đánh số 1,2,3,4,5,6; tính từ lỗ định âm; các lỗ này phát ra âm có tần số có tần số cách âm cơ bản được tính bằng cung theo thứ tự: 1 cung, 2 cung, 2,5 cung, 3,5 cung, 4,5 cung, 5,5 cung. Coi rằng mỗi lỗ bấm là một ống sáo rút ngắn. Hai lỗ cách nhau một cung và nửa cung (tính từ lỗ định âm) thì có tỉ số chiều dài đến lỗ thổi tương ứng là $\frac{8}{9}$ và $\frac{15}{16}$. Giữa chiều dài ${{L}_{i}}$ từ lỗ thổi đến lỗ thứ $i$ và tần số ${{f}_{i}}$ ($i=1\to 6$) của âm phát ra từ lỗ đó tuân theo công thức ${{L}_{i}}=\frac{v}{2{{f}_{i}}}$ ( v là tốc độ truyền âm trong không khí bằng $340\ \left( \text{m}/\text{s} \right)$) một ống sáo phát ra âm cơ bản có tấn số bằng $f=440\left( Hz \right)$. Lỗ thứ 5 phát ra âm cơ bản có tấn số bằng bao nhiêu?

A. $494\left( Hz \right).$

B. $275,5\left( Hz \right).$

C. $392\left( Hz \right).$

D. $751,8\left( Hz \right).$

Lời giải:

Giả sử, chọn $O$ là lỗ thổi thì ta có: ${{d}_{\left( 0;i \right)}}={{x}_{1}}\left( i:0\to 6 \right)$

Hai lỗ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ tương ứng với 1 cung, 2 cung nên cách nhau một cung nên $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}=\frac{9}{8}.$

Tương tự ta có: $\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{3}}}=\frac{16}{15};\frac{{{x}_{3}}}{{{x}_{4}}}=\frac{9}{8};\frac{{{x}_{4}}}{{{x}_{5}}}={{\left( \frac{9}{8} \right)}^{2}}$do đó $\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{5}}}=\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}.\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{3}}}.\frac{{{x}_{3}}}{{{x}_{4}}}.\frac{{{x}_{4}}}{{{x}_{5}}}=\frac{2187}{1280}$

Lại có: ${{f}_{5}}{{x}_{5}}={{f}_{1}}{{x}_{1}}$ nên \[{{f}_{5}}={{f}_{1}}.\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{5}}}=440.\frac{2187}{1280}\approx 751,8\left( Hz \right)\]
Chọn đáp án A.

Khoảng thời gian để vật $B$ rơi từ $D$ xuống ${{B}_{1}}$ gần giá trị nào nhất sau đây?

Bài toán: Một con lắc lò xo thẳng đứng gồm một lò xo nhẹ có độ cứng $k=20\left(\frac{N}{m} \right)$ được gắn với một vật nhỏ $A$ có khối lượng ${{m}_{A}}=100\left(g \right)$ và vật nhỏ $B$ có cùng khối lượng với $A$ ($A$ được treo ở trên $B$), chúng được nối với nhau bằng một sợi dây mềm ${{A}_{o}}{{B}_{o}}$ đủ dài. Kéo $B$ từ vị trí cân bằng ${{B}_{o}}$ của nó xuống tới ${{B}_{1}}$với ${{B}_{1}}{{B}_{o}}=20\left(cm \right)$ rồi thả nhẹ $B$ ra thì nó sẽ đi từ${{B}_{o}}$ lên tới vị trí cao nhất là $D$. Nếu tại $D$, dây nối bị tuột,$B$ bị rơi xuống, thì khoảng thời gian để vật $B$ rơi từ $D$ xuống ${{B}_{1}}$ gần giá trị nào nhất sau đây?
A. $\frac{2\sqrt{2}}{9}\left(s \right)$
B. $\frac{\sqrt{2}}{9}\left(s \right)$
C. $\frac{2\sqrt{2}}{3}\left(s \right)$
D. $\frac{\sqrt{2}}{3}\left(s \right)$
Lời giải:

Áp dụng phương trình định luật $II$ Niu-tơn ta có: $mg-T=-m{{\omega }^{2}}x$.

Tại vị trí $C$dây bị chùng thì $T=0$suy ra: $x=-\frac{g}{{{\omega }^{2}}}=\frac{2mg}{-k}=-10\left( cm \right)$.

Vận tốc của vật $B$lúc này bằng: $v=-\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=-\sqrt{3}\left( m/s \right)$.

Tại $D$, vận tốc của vật $B$bằng $0$, sau đó vật $B$rơi tự do.

Khoảng cách $CD$bằng: $CD=\frac{{{v}^{2}}}{2g}=15\left( cm \right)$.

Khoảng cách $D{{B}_{1}}$bằng: $D{{B}_{1}}=DC+C{{B}_{o}}+{{B}_{o}}{{B}_{1}}=45\left( cm \right)$.

Thời gian vật $B$rơi từ $D$xuống ${{B}_{1}}$bằng: ${{t}_{D{{B}_{1}}}}=\sqrt{\frac{2D{{B}_{1}}}{g}}=0,3\left( s \right)$.

 Chọn đáp án A.

Tỉ số $\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ gần giá trị nào nhất sau đây? Biết cơ năng của dao động tổng hợp là $(5n+36) (mJ)$?

Bài toán: Một chất điểm thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần lượt là${{A}_{1}}$và ${{A}_{2}}$, có độ lệch pha không đổi là ${{90}^{0}}$ . Biết rằng tại thời điểm ban đầu, thế năng của dao động thứ hai là n (mJ) và động năng của dao động thứ nhất là $(n+24) (mJ).$ Sau đó, khi thế năng của dao động thứ nhất giảm ba lần thì động năng của nó gấp năm lần so với động năng của dao động thứ hai ở thời điểm ban đầu và có giá trị bằng $5n (mJ)$. Hỏi tỉ số $\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ gần giá trị nào nhất sau đây? Biết cơ năng của dao động tổng hợp là $(5n+36) (mJ)$?

A. 2,06

B. 1,74

C. 2,24

D. 1,42

Bài làm:

Ta thấy, đề bài cho hai dao động vuông pha. Điều này gợi ngay cho ta liên tưởng tới hệ thức tính biên độ của dao động tổng hợp : ${{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}$ . Chưa hết, từ hệ thức trên, ta có thể suy biến về hệ thức cơ năng của dao động tổng hợp.

Thật vậy ta có : $\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left({{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}\right)\Rightarrow {{\text{W}}_{th}}={{\text{W}}_{1}}+{{\text{W}}_{2}}$

Mà ta đã biết cơ năng của dao động tổng hợp là $(5n+36) (mJ)$. Vậy điều này chứng tỏ suy luận của ta là đúng.

Do đó: ${{\text{W}}_{1}}+{{\text{W}}_{2}} = (5n+36) (mJ)$

Bảo toàn cơ năng cho dao động thứ nhất :

${{\text{W}}_{{{t}_{1}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{1}}}}={{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}\left(={{\text{W}}_{1}}\right)$

$\Leftrightarrow 3{{\text{W}}_{t{}_{2}}}+n+24={{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}\Rightarrow {{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}=\frac{{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}}{2}-\frac{n}{2}-12$

Gọi : $\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=t\Rightarrow {{\text{W}}_{1}}={{t}^{2}}{{\text{W}}_{2}}\Leftrightarrow {{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}={{t}^{2}}\left({{\text{W}}_{t{{'}_{2}}}}+{{\text{W}}_{d{{'}_{2}}}}\right)$

\[M\grave{a}:{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}=5{{\text{W}}_{d{{'}_{2}}}}=5n;{{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}=\frac{{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}}{2}-\frac{n}{2}-12\]$\Rightarrow 7,5n-\frac{n}{2}-0,012={{t}^{2}}\left(12+n\right)\Leftrightarrow 7n-12={{t}^{2}}\left(12+n\right)\left(1\right)$

Mặt khác :

\[{{\text{W}}_{1}}+{{\text{W}}_{2}}={{t}^{2}}{{\text{W}}_{2}}+{{\text{W}}_{2}}=\Leftrightarrow \left(n+12\right)\left({{t}^{2}}+1\right)=5n+36\left(2\right)\]

Ta có: $(1)+(2) \Rightarrow t^2=3; n=12 \Rightarrow t=\frac{A_1}{A_2}=\sqrt{3} \approx 1,74$

Chọn đáp án B.