Tỉ số $\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ gần giá trị nào nhất sau đây? Biết cơ năng của dao động tổng hợp là $(5n+36) (mJ)$?

Bài toán: Một chất điểm thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có biên độ lần lượt là${{A}_{1}}$và ${{A}_{2}}$, có độ lệch pha không đổi là ${{90}^{0}}$ . Biết rằng tại thời điểm ban đầu, thế năng của dao động thứ hai là n (mJ) và động năng của dao động thứ nhất là $(n+24) (mJ).$ Sau đó, khi thế năng của dao động thứ nhất giảm ba lần thì động năng của nó gấp năm lần so với động năng của dao động thứ hai ở thời điểm ban đầu và có giá trị bằng $5n (mJ)$. Hỏi tỉ số $\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}$ gần giá trị nào nhất sau đây? Biết cơ năng của dao động tổng hợp là $(5n+36) (mJ)$?

A. 2,06

B. 1,74

C. 2,24

D. 1,42

Bài làm:

Ta thấy, đề bài cho hai dao động vuông pha. Điều này gợi ngay cho ta liên tưởng tới hệ thức tính biên độ của dao động tổng hợp : ${{A}^{2}}={{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}$ . Chưa hết, từ hệ thức trên, ta có thể suy biến về hệ thức cơ năng của dao động tổng hợp.

Thật vậy ta có : $\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}{{A}^{2}}=\frac{1}{2}m{{\omega }^{2}}\left({{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}\right)\Rightarrow {{\text{W}}_{th}}={{\text{W}}_{1}}+{{\text{W}}_{2}}$

Mà ta đã biết cơ năng của dao động tổng hợp là $(5n+36) (mJ)$. Vậy điều này chứng tỏ suy luận của ta là đúng.

Do đó: ${{\text{W}}_{1}}+{{\text{W}}_{2}} = (5n+36) (mJ)$

Bảo toàn cơ năng cho dao động thứ nhất :

${{\text{W}}_{{{t}_{1}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{1}}}}={{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}\left(={{\text{W}}_{1}}\right)$

$\Leftrightarrow 3{{\text{W}}_{t{}_{2}}}+n+24={{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}\Rightarrow {{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}=\frac{{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}}{2}-\frac{n}{2}-12$

Gọi : $\frac{{{A}_{1}}}{{{A}_{2}}}=t\Rightarrow {{\text{W}}_{1}}={{t}^{2}}{{\text{W}}_{2}}\Leftrightarrow {{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}+{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}={{t}^{2}}\left({{\text{W}}_{t{{'}_{2}}}}+{{\text{W}}_{d{{'}_{2}}}}\right)$

\[M\grave{a}:{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}=5{{\text{W}}_{d{{'}_{2}}}}=5n;{{\text{W}}_{{{t}_{2}}}}=\frac{{{\text{W}}_{{{d}_{2}}}}}{2}-\frac{n}{2}-12\]$\Rightarrow 7,5n-\frac{n}{2}-0,012={{t}^{2}}\left(12+n\right)\Leftrightarrow 7n-12={{t}^{2}}\left(12+n\right)\left(1\right)$

Mặt khác :

\[{{\text{W}}_{1}}+{{\text{W}}_{2}}={{t}^{2}}{{\text{W}}_{2}}+{{\text{W}}_{2}}=\Leftrightarrow \left(n+12\right)\left({{t}^{2}}+1\right)=5n+36\left(2\right)\]

Ta có: $(1)+(2) \Rightarrow t^2=3; n=12 \Rightarrow t=\frac{A_1}{A_2}=\sqrt{3} \approx 1,74$

Chọn đáp án B.