Hệ số công suất của đoạn mạch lúc này là:

Toán học và vật lí từ xưa đến nay luôn có mối quan hệ gần gũi. Trong 3 môn khối A thì Toán và Lí gần với nhau hơn là với Hóa. Các bài Vật lí (nhiều bài) kiến thức vật lí chỉ là bề ngoài, ẩn chứa bên trong là ý niệm về các công cụ toán học.
1.Với việc giải bài:
Nhiều khi giải bằng công cụ Toán nhanh hơn việc áp dụng các phương pháp giải Lí bình thường....
2. Với việc chế đề:
Nhiều khi người ta sáng tác bài Vật lí dựa trên các bài toán quen thuộc.

Bài toán 1: Cho mạch điện xoay chiều AB, AN chứa cuộn dây, NB chứa tụ điện. Đặt một hiệu điện thế không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB. Biết giá trị của tụ có thể thay đổi được và điện áp hai đầu đoạn mạch AN luôn sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc $\varphi $. Điều chỉnh giá trị của tụ để giá trị ${{U}_{AN}}+{{U}_{NB}}$ đạt giá trị cực đại. Hệ số công suất của đoạn mạch lúc này là:

A. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$.

B. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\sin \varphi } \right)}^{2}}}}$.

C. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \cot \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$.

D. $\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \cot \varphi -\frac{1}{\sin \varphi } \right)}^{2}}}}$
Hướng 1:

Ta có $u_{AN}$ lệch pha với $u_{NB}$ một góc là $\alpha=90+ \varphi$.
Ta có:
$$U^2=U_{AN}^2+U_{NB}^2-2U_{AN} U_{NB} \cos \alpha .$$
Theo Cauchy- Schwarz:
$$U_{AN}^2+U_{NB}^2 \geq \frac{(U_{AN} +U_{NB})^2}{2}.$$
Theo AM-GM:
$$U_{AN} U_{NB} \leq \frac{(U_{AN}+U_{NB})^2}{4}.$$
Do đó:
$$U^2 \geq X^2 + \frac{1}{2} X^2 \cos \alpha.$$
Với:
$$X=U_{AN}+U_{MB}.$$
Dấu bằng xảy ra khi:
$$U_{AN}=U_{NB}.$$
Từ đó:
Góc giữa $u_{AN}$ và $u$ bằng góc giữa $u_{NB}$ và $u$ và bằng $\frac{\alpha}{2}$.
Vậy góc giữa $u$ và $i$ là $45-\frac{\varphi}{2}$.
Sau khi biến đổi:
Chọn $A$

Hướng 2:
Do cuộn dây hợp dòng điện góc $\varphi $ nên cuộn dây chứa $r$
suy ra : ${{Z}_{L}}=\tan\varphi .r$
Ta có :
${{U}_{AN}}+{{U}_{NB}}={{U}_{C}}+{{U}_{rL}}=\frac{U\left( {{Z}_{C}}+\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}} \right)}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( {{Z}_{L}}-{{Z}_{C}} \right)}^{2}}}}$

Đặt $f(x)=\frac{x+\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}}{\sqrt{{{r}^{2}}+{{\left( x-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}}}\left( {{Z}_{C}}=x \right)$

$${f}'(x)=\frac{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}+{{Z}_{L}}.\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}-x\left( {{Z}_{L}}+\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}} \right)}{\sqrt{{{\left( x-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}}}.\left( {{\left( x-{{Z}_{L}} \right)}^{2}}+{{r}^{2}} \right)}$$
$$f'(x)=0 \Leftrightarrow x= \sqrt{r^2+{Z_L}^2}$$
Dựa BBT suy ra $$f\left( {{Z}_{C}} \right)max\Leftrightarrow {{Z}_{C}}=\sqrt{{{r}^{2}}+{{Z}_{L}}^{2}}=\frac{r}{cos\varphi }$$
Vây:$$\cos \varphi=\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$$.