Số dao động với biên độ cực đại trong khoảng OO' là?

Bài toán (Trích đề thi thử chuyên ĐH Vinh 2013)Tại gốc O của hệ xOy đặt một nguồn sóng nước, M và N là 2 điểm cố định trên Õ có tọa độ tương ứng là 9 cm; 16 cm, Dịch chuyển một nguồn sóng O' ( giống nguồn tại O trên trục Oy thì thấy khi $\widehat{MO'N}$ lớn nhất thì cũng là lúc M và N là 2 điểm dao động với biên độ cực đại liền kề. Số dao động với biên độ cực đại trong khoảng OO' là?

A.13

B.14

C.12

D.11

Lời giải:

Cách 1:

Đặt $x=OO'$ với x>0.

Theo định lí hàm số cosin trong tam giác O'MN, ta có:

$$\cos{MO'N}=f(x)=\frac{x^2+81+x^2+256-49}{2.\sqrt{x^2+81}.\sqrt{x^2+256}}.$$

Như vậy $\widehat{MO'N}$ lớn nhất khi f(x) nhỏ nhất(vì $\widehat{MO'N}$ nhọn).

Xét $$y=f^2(x)=\frac{x^4+288x^2+20736}{x^4+337x^2+22736}.$$

Đặt $x^2=t$, ta có :

$$(y-1)t^2=(237y-228)t+20736(y-1)=0.$$(1).

Coi (1) là phương trính bậc 2 ẩn t, ta có (1) có nghiệm

$$\Leftrightarrow y \geq \frac{576}{25}.$$

Thay vào (1), ta có:

$$t=\frac{288-337y}{2(y-1)}=144 \Rightarrow x=12.$$

Sử dụng nốt giả thiết M, N nằm trên 2 cực đại liền kề, ta có:

$NO'=20; MO'=15$.

$MO'-MO=6; NO'-NO=4$.

Theo bài ta có $\lambda=2$.

Các điểm cực đại trên khoảng O O' thỏa mãn:

$-12<k\lambda < 12$ và $k \in Z$.

Từ đó ta có số điểm cần tìm là $5.2+1=11$.

Chọn $D$.

Cách 2:

Đặt: $OO' = x$ $\Rightarrow \tan\widehat{OO'M} = \frac{9}{x}, \tan\widehat{OO'N} = \frac{16}{x}$

Ta có:

$\tan\widehat{MO'N} = \tan(\widehat{OO'N} - \widehat{OO'M})$

$= \frac{tan\widehat{OO'N} - \tan\widehat{OO'M}}{1 + \tan\widehat{OO'N}.\tan\widehat{OO'M}}$

$= \frac{\frac{16}{x} - \frac{9}{x}}{1 + \frac{16.9}{x^2}} = \frac{7}{x + \frac{144}{x}}$

Cosi nên $\widehat{MO'N}_{max}\Leftrightarrow x = 12$

Từ đây dễ rồi

Tương tự theo cách 1.

Bài toán trong đề thi A 2013 là một biến dạng của bài toán trên.