Số điểm dao động với biên độ $4a$ trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là ?

Bài toán :Có 4 nguồn sóng giống y hệt nhau có biên độ sóng là $a$ đặt tại 4 đỉnh của một hình ABCD vuông cạnh bằng $25cm$ đang dao động vuông góc với mặt nước với bước sóng là $1cm$. Số điểm dao động với biên độ $4a$ trên đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD là ?

A. 0

B.4

C.8

D.16 

Lời giải:

Xét M trên đường tròn Mình sẽ chọn M trên cung AD, nếu tìm được 1 vài điểm 4a thì do tính đối xứng mình sẽ nhân 4 lên là ra. Đặt $MA=a, MB=b, MC=c, MD=d$. Để đạt được cực đại thì hiệu 2 số bất kì :

$a-b, a-c, a-d$ phải là những số nguyên lần bước sóng.

Vậy thì phải có điều kiện cần : $b-a=k\lambda, c-a=h\lambda , d-a=p\lambda$

hay $b=a+k\lambda, c=a+h\lambda, d=a+p\lambda$

( Hiểu đoạn trên như sau : mỗi cái đều có biên độ là a. nếu tại điểm M vector biên độ của nguồn A là 1 vector nào đó thì để tăng lên đô lớn vector thành 2a thì ở điểm B khi truyền đến phải là 1 vector cùng phương như nguồn A(giống các bài 2 nguồn ấy ), tương đương với $b-a=k\lambda$, tương tự muốn tăng lên 3a thì $c-a=h\lambda$ và muốn lên 4a thì $d-a=p\lambda$ )

Thông qua định lí cos ta thu được điều sau :

$a^2+b^2-2ab\cos \frac{\pi}{4}=a^2+d^2-2ad \cos \frac{3\pi}{4}$ ( chúng đều bằng bình phương của cạnh hình vuông)

ta rút ra được $b^2-\sqrt{2}ab=d^2+\sqrt{2}ad$

hay là $(b-d)(b+d)=\sqrt{2}a(b+d)$ tức là $b-d=\sqrt{2}a$

có nghĩa là

$\frac{\lambda(k-p)}{\sqrt{2}}=a $ (1)

làm tương tự

$d^2+c^2-2cd\cos\frac{\pi}{4}=a^2+d^2-2ad\cos \frac{3\pi}{4}$

suy ra $(c-a)(c+d)=\sqrt{2}d(a+c)$ hay $c-a=\sqrt{2}d $

kết hợp với (1) ta thu được :

$c-a=h\lambda=\sqrt{2}(a+p\lambda)=\sqrt{2}\bigg(\frac{\lambda(k-p)}{\sqrt{2}}+p\lambda\bigg)=\lambda(k-p)+\sqrt{2}p\lambda.$

Hay là $h=k-p+\sqrt{2}p \Leftrightarrow \frac{h-k+p}{p}=\sqrt{2}$

Vô lí vì $\sqrt{2}$ là số vô tỷ. Vậy trên đường tròn này sẽ không có điểm nào dao động với biên độ là $4a$

Chọn A.