Giá trị của $R_2$ và $C$ lần lượt là bao nhiêu?

Bài toán

Đoạn mạch $AB$ gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp. Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần $R_1 = 200 \Omega$ mắc nối tiếp với một cuộn cảm thuần cảm có độ tự cảm $L=\frac{2.\sqrt{3}}{\pi}$. Đoạn mạch MB có điện trở $\ R_2$ mắc nối tiếp với một tụ điện có điện dung C. Đặt vào A, B điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và tần số là $50$ Hz. Mắc Ampe kế với điện trở rất nhỏ vào MB thì Ampe kế chỉ $0,3$ A. Nếu thay ampe kế bằng vôn kế có điện trở lớn thì vôn kế chỉ $60$ V, hiệu điện thế trên vôn kế trễ pha $60^0$ so với hiệu điện thế hai đầu mạch AB. Giá trị của $R_2$ và $C$ lần lượt là bao nhiêu?

Lời giải :

$Z_{AM} = \sqrt{200^2 + 3.200^2} = 400\Omega$

$U = I.Z = 120V$

$U_{MB} = 60V$

$\Rightarrow U_{R_2}^2 + U_C^2 = 60^2$

Vẽ giản đồ vecto với dùng định lý hàm số cosin:

 $U_{AM} = \sqrt{120^2 + 60^2 - 2.120.60\cos\frac{\pi}{3}} = 60\sqrt{3}$

$\Rightarrow  I = \frac{U_{AM}}{Z_{ZM}} = 0,15\sqrt{3}$

$\Rightarrow Z = \frac{800\sqrt{3}}{3}$

$(R_1 + R_2)^2 + (Z_L - Z_C)^2 = \frac{640000}{3}$ (1)

$R_2^2 + Z_C^2 = \frac{160000}{3}$ (2)

$R_2 = \sqrt{3}Z_C$

Từ đó: $Z_C = \frac{200\sqrt{3}}{3}; R = 200$

 Giải thích thêm: 

- Khi mắc Ampe kế vào MB thì đoạn mạch AB chỉ còn $R_1$ và $L$. Khi đó $U=U_{AM}=0,3.Z_{AM}=120$

- Mắc Vôn kế có điện trở rất lớn thì dòng điện không chạy qua Vôn kế, và lúc đó mạch gồm $R_1-Z_L-R_2-C$, hiệu điện thế hai đầu vôn kế chính là $U_{MB}$.

- Vẽ giản đồ cũng được, hoặc không thì vì hiệu điện thế trên vôn kế trễ pha $60^0$ so với hiệu điện thế hai đầu mạch $AB$ nên ta có
$$ \overrightarrow{U}=\overrightarrow{U_{AM}}+\overrightarrow{U_{MB}}$$

$$\Leftrightarrow U^2+U_{MB}^{2}-2U.U_{MB}\cos\left( \overrightarrow{U},\overrightarrow{U_{MB}} \right)=U_{AM}^{2}.$$