Công thức giải nhanh khi thay đổi của tần số làm mạch có cùng hệ số công suất

Công thức 1. (Điện xoay chiều)

Bài toán : Cho mạch điện RLC nối tiếp ,cuộn dây thuần cảm ,biết $nL=R^2C$,đặt vào hai đầu đoạn mạch điện xoay chiều ổn định,thì mạch có cùng hệ số công suất với hai giá trị của tần số công suất $\omega_1,\omega_2$.Hệ số công suất của mạch là:

\[ \cos \varphi =\sqrt{\frac{n{{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}{\omega _{1}^{2}+\omega _{2}^{2}+(n-1){{\omega }_{1}}{{\omega }_{2}}}} \]

Chứng minh :

Do $$\cos \varphi_1=\cos \varphi_2$$

Nên \[ LC = \frac{1}{\omega_1\omega_2} \Rightarrow Z_{C1}=Z_{L2} \]

\[ \Rightarrow \cos \varphi = \frac{R}{\sqrt{R^2+L^2(\omega_1-\omega_2)^2}} \]

\[ \Rightarrow \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{L^2}{R^2}(\omega_1-\omega_2)^2}} \]

\[ \Rightarrow \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{LC}{n}(\omega_1-\omega_2)^2}} \]

\[ \Rightarrow \cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{(\omega_1-\omega_2)^2}{n.\omega_1 \omega_2}}} \]

Bài tập áp dụng :

Bài 1. Mạch $AB$ nối tiếp gồm cuộn cảm thuần $L$ (đoạn mạch $AM$), điện trở thuần $R$ (đoạn mạch $MN$) và tụ điện $C$ (đoạn mạch $NB$). Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi và tần số $f$ thay đổi được. Khi tần số $f=f_1=20Hz$ và $f=f_2=45Hz$ thì hệ số công suất $AB$ không đổi và điện áp hai đầu đoạn mạch $AM$ và $NB$ vuông pha nhau. Hệ số công suất của đoạn $AB$ là :

A. 0,886

B. 0,768

C. 0,892

D. 0,878

Với bài này ta sẽ có : $$\cos \varphi = \frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt{\frac{\omega_1}{\omega_2}} -\sqrt{\frac{\omega_2}{\omega_1}}) ^2 }}$$