R biến thiên để công suất biến thiên

Nhóm công thức 2 :$ R thay đổi.

1. Công suất cực đại

Mạch $RLC$ có cuộn cảm (điện trở $r$), độ tự cảm $L$, tụ điện $C$ và điện trở $R$.

Công suất mạch đạt cực đại :

Ta có : $$P=\frac{U^2}{(R+r)+\frac{(Z_L-Z_C)^2}{(R+r)}}$$

- Trường hợp 1. Nếu $0 \le r \le |Z_L-Z_C| $, áp dụng BĐT AM-GM ta có :

$$P=\frac{U^2}{(R+r)+\frac{(Z_L-Z_C)^2}{(R+r)}} \le \frac{U^2}{2.\sqrt{(R+r).\frac{(Z_L-Z_C)^2}{(R+r)}}}= \frac{U^2}{2|Z_L-Z_C|}$$

Vậy khi đó $P_{max} = \frac{U^2}{2(R+r)} = \frac{U^2}{2|Z_L-Z_C|}$ và đạt khi $R_o+r=|Z_L-Z_C|$

Và khi đó, đề bài cho có 2 giá trị $R_1$ và $R_2$ để công suất của mạch bằng nhau.

Xét $$P=\frac{U^2.(R+r)}{(R+r)^2+(Z_L-Z_C)^2} = \frac{U^2(R+r)}{(R+r)^2+(R_o+r)^2}$$

$$\Leftrightarrow (R+r)^2-\frac{U^2}{P}.(R+r)+(R_o+r)^2=0$$

Đến đây đó $(R_1+r),(R_2+r)$ là 2 nghiệm của phương trình trên.

Theo định lí Viet ta có : $$\begin{cases} (R_1+r)(R_2+r)=(R_o+r)^2 \\ R_1+r+R_2+r=\frac{U^2}{P} \end{cases}$$

Thì ta có

- Trường hợp 2 . Nếu $r > |Z_L-Z_C|$ thì $$P=\frac{U^2}{R+r+\frac{(Z_L-Z_C)^2}{(R+r)}} $$

Xét $$f(R) = R+r+\frac{(Z_L-Z_C)^2}{(R+r)}$$

Có $$f'(R)=1-\frac{|Z_L-Z_C|^2}{(R+r)^2}$$

Mà $|Z_L-Z_C| < r \le R+r$

- Nên $$f'(R) >0$$

Do đó : $$P_{max} = \frac{U^2.r}{r^2+(Z_L-Z_C)^2}$$

đạt khi $R=0$.

Bài tập áp dụng.

Bài 1. Mạch $RLC$ nối tiếp có cuộn dây không thuần cảm có $r=10 \Omega$ và $L=\frac{0,4}{\pi}H$, một tụ điện có điện dung $C=\frac{1000}{8\pi} \mu F$ . Khi thay đổi $R$ đến giá trị $R=15\Omega$ thì công suất mạch là $P$. Để công suất mạch vẫn là $P$ thì phải tăng $R$ thêm :

A. $\frac{320}{3} \Omega$

B. $\frac{275}{3} \Omega$

C. $39 \Omega$

D. $64\Omega$