Hệ số công suất của mạch $AB$ khi $L=L_o$ gần giá trị nào nhất sau đây?

Bài toán Đặt điện áp xoay chiều có tần số không đổi vào hai đầu đoạn mạch $AB$ gồm điện trở thuần $R$, tụ điện $C$ và cuộn cảm thuần $L$ ($L$ thay đổi được). Khi $L=L_o$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm đạt cực đại và bằng $U_1$. Khi $L=L_1$ hoặc $L=L_2$ thì điện áp hiệu dụng giữa hai đầu cuộn cảm có giá trị như nhau và bằng $U_2$. Biết rằng $\frac{U_2}{U_1}=k$, tổng hệ số công suất của mạch $AB$ khi $L=L_1$ và $L=L_2$  là $k\sqrt{2}$. Hệ số công suất của mạch $AB$ khi $L=L_o$ gần giá trị nào nhất sau đây?

A. $0,8$

B. $0,6$

C.$0,75$

D. $0,96$

Lời giải:

Cách 1:

Ta có:

$\frac{U2}{U1}=\frac{Z_{max}}{Z_1}\frac{ZL_1}{ZL_{max}}=\frac{Z_{max}}{Z_2}\frac{ZL_2}{ZL_{max}}=k \Rightarrow 2k=\frac{Z_{max}}{ZL_{max}}\left(\frac{ZL_1}{Z_1}+\frac{ZL_2}{Z_2}\right)$ 

Đặt $\frac{1}{Z_1}=a ,\frac{1}{Z_2}= , \frac{ZL_{max}}{ZL_1}=x , \frac{ZL_{max}}{ZL_2}=y$

Ta có do tổng hệ số công suất bằng $k\sqrt{2}$suy ra $a + b = k\sqrt{2}:R  x+y=2$

Lại có $\frac{a}{x}=\frac{b}{y} suy ra \frac{a}{x}+\frac{b}{y}=2\frac{a+b}{x+y}=\frac{k\sqrt{2}}{R}$

Thay vào biểu thức trên được $\frac{R}{Z_{max}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ suy ra đáp án C

Cách 2:

Ta có : $$\sin    \varphi \cos    \varphi = \frac{R}{Z_{L_o}} \,\,\, , \frac{U}{U_1} = \sin    \varphi \Rightarrow \frac{U_2}{U} = \frac{k}{\sin    \varphi}$$

$$\Rightarrow \frac{k}{\sin    \varphi}  = \frac{Z_{L_1}}{R}\cos    \varphi_1 = \frac{Z_{L_2}}{R}\cos    \varphi_2= \frac{\cos    \varphi_1 + \cos    \varphi_2}{\frac{R}{Z_{L_1}}+\frac{R}{Z_{L_2}}} = \frac{k}{\frac{2R}{Z_{L_o}}} = \frac{k\sqrt{2}}{2\sin    \varphi \cos    \varphi}$$

$$\Rightarrow \cos    \varphi =\frac{1}{\sqrt{2}}$$