Hệ số công suất của đoạn mạch lúc này là:

Bài toán: Cho mạch điện xoay chiều AB, AN chứa cuộn dây, NBchứa tụ điện. Đặt một hiệu điện thế không đổi vào hai đầu đoạn mạch AB.Biết giá trị của tụ có thể thay đổi được và điện áp hai đầu đoạn mạch AN luôn sớm pha hơn cường độ dòng điện một góc $\varphi $. Điều chỉnh giá trị của tụ để giá trị ${{U}_{AN}}+{{U}_{NB}}$ đạt giá trị cực đại. Hệ số công suất của đoạn mạch lúc này là:

A.$\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$

B.$\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \tan \varphi -\frac{1}{\sin \varphi } \right)}^{2}}}}$

C.$\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \cot \varphi -\frac{1}{\cos\varphi } \right)}^{2}}}}$

D.$\frac{1}{\sqrt{1+{{\left( \cot \varphi -\frac{1}{\sin \varphi } \right)}^{2}}}}$

Lời giải:

Hướng 1:

Ta có $u_{AN}$ lệch pha với $u_{NB}$ một góc là $\alpha=90+ \varphi$.

Ta có:

$$U^2=U_{AN}^2+U_{NB}^2-2U_{AN} U_{NB} \cos \alpha .$$

Theo Cauchy- Schwarz:

$$U_{AN}^2+U_{NB}^2 \geq \frac{(U_{AN} +U_{NB})^2}{2}.$$

Theo AM-GM:

$$U_{AN} U_{NB} \leq \frac{(U_{AN}+U_{NB})^2}{4}.$$

Do đó:

$$U^2 \geq X^2 + \frac{1}{2} X^2 \cos \alpha.$$

Với:

$$X=U_{AN}+U_{MB}.$$

Dấu bằng xảy ra khi:

$$U_{AN}=U_{NB}.$$

Từ đó:

Góc giữa $u_{AN}$ và $u$ bằng góc giữa $u_{NB}$ và $u$ và bằng $\frac{\alpha}{2}$.

Vậy góc giữa $u$ và $i$ là $45-\frac{\varphi}{2}$.

Sau khi biến đổi:

Chọn $A$

Hướng 2:

Do cuộn dây hợp dòng điện góc $\varphi $ nên cuộn dây chứa $r$

suy ra : ${{Z}_{L}}=\tan\varphi .r$

Ta có :

$$U_{AN}+U_{NB}=U_C+U_{rL}=\frac{U.\left(Z_C+\sqrt{r^2+Z_L^2} \right)}{\sqrt{r^2+{ Z_L-Z_C)^2}}}$$

Đặt $$f(x)=\frac{x+\sqrt{r^2+Z_L^2}}{\sqrt{r^2+\left( x-Z_L \right)^2}} ; \left( Z_C=x \right).$$

$$f'(x)=0 \Leftrightarrow x= \sqrt{r^2+Z_L^2}$$

Dựa BBT suy ra $$f \left( Z_C \right) max \Leftrightarrow Z_C=\sqrt{r^2+Z_L^2}=\frac{r}{cos\varphi}.$$

Từ đó chọn đáp án A.