Sóng $\lambda '> \lambda $ là

Bài toán

Mạch chọn sóng có tụ xoay $C_{min}=30pF$, $C_{max}=270pF$ cuộn dây có $r=0,01\Omega $. Mạch sẽ bắt được sóng trong khoảng $\lambda _{1}=10m$ đến $\lambda _{2}=30m$ tương ứng góc quay từ $0^{0}$ đến $120^{0}$. Điều chỉnh để mạch thu được sóng có bước sóng $\lambda =20m$. Đang ổn định thì núm xoay tụ bị lệch, lúc này dòng điện hiệu dụng trong khung chỉ bằng $\frac{1}{1000}$ so với ban đầu và mạch chuyển sang chọn sóng $\lambda ^{,}> \lambda $ là

A. $20m$

B. $20,08m$

C. $25,12m$

D. $21,33m$

Nhận xét: Đề bẫy quá: 21,33 và 20,08 gần nhau quá:

Lời giải sai:

Ta có:

$$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} =\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}.$$

Nên mạch có tụ xoay đơn.

Tính ra:

$$L \approx 9,38.10^{-7}(H).$$

Tại $\lambda =20$ thì:

$$C=1,2.10^{-10}(F).$$

Ta tính tiếp lượng thay đổi của điện dung tụ sau khi núm xoay bị lệch:

Ban đầu:

$$\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}; I=\frac{E}{R}.$$

Sau đó:

$$I'=\frac{E}{\sqrt{R^2+ \left(L \omega -\frac{1}{C \omega} \right)}}.$$

Ta có:

$$I'=\frac{I}{1000}.$$

$$\Rightarrow 1000^2 R^2=R^2+ \left(\frac{\Delta C}{C.C_o} \right)^2 \frac{1}{\omega^2}.$$

Từ đó ta có điện dung tăng lên một lượng:

$$\Delta C= 1000R \omega C_o^2.$$

Tính ra điện dung tụ sau khi núm hỏng là:

$$C'=1,357.10^{-10}.$$

Mạch bắt được sóng có bước sóng:

$$\lambda =2\pi \sqrt{LC} \approx 21,33 m.$$

Chọn $D$.

Lời giải đúng:

Khi mạch bắt sóng tốt $\lambda =20 m$ thì $\lambda=2 \lambda_{min}$

$$\Rightarrow C_{\alpha}=2C_{min}=120 pF.$$

Theo công thức:

$$C_{\varphi}=C_{min}+ \frac{C_{max}-C_{min}}{\varphi_{max}}.\varphi.$$

Kim chỉ vạch ở vị trí $\varphi=45^o$.

$$L=\frac{\lambda_{min}^2}{4\pi ^2 c^2 C}=9,38159.10^{-7} F.$$

Khi núm động kim lệch đi một góc $\Delta \varphi$(tăng), lúc này đối với sóng $\lambda$ không còn cộng hưởng nữa, vì $Z'_C=Z_C+ \Delta Z_C \neq Z_L$

$$\Rightarrow Z'_{tm}=\sqrt{r^2+\left(Z_L-Z_C\right)^2}.$$

Khi núm chưa bị lệch, khung bắt sóng trong tình trạng cộng hưởng $Z_L=Z_C$ do vậy $Z_{tm}=r$.

Khi bị lệch, cường độ hiệu dụng giảm 1000 lần nên $Z'_{tm}=1000Z_{tm}$

$$Z'_{tm}=1000r=\sqrt{r^2+ \Delta Z_C^2}.$$

$$\Rightarrow \Delta Z_C \approx 1000r=1 \Omega.$$

Lại có $$\frac{\Delta Z_C}{Z_C}=\frac{\Delta \varphi}{\varphi}.$$

$$\Rightarrow \Delta \varphi =\frac{\Delta Z_C}{Z_C}  \varphi= \sqrt{\frac{C_{\varphi}}{L}}.\Delta Z_C \varphi.$$

$$\Rightarrow \Delta \varphi =0,5089^o.$$

$$\Rightarrow \varphi'=45,5089^o.$$

$$\Rightarrow C'_{\varphi}=C_{min}+ \frac{C_{max}-C_{min}}{\varphi_{max}}.\varphi '=1,21.10^{-10} F.$$

$$\Rightarrow \lambda'=2 \pi c \sqrt{LC'_{\varphi}}=20,083 m.$$