Tính hệ số công suất của mạch:

Bài toán

Mạch $R,\ L,\ C$ có $R^2 = \frac{L}{C}$, và tần số thay đổi được. Khi $f = f_1$ hoặc $f=f_2 = 4f_1$ thì mạch có cùng hệ số công suất. Tính hệ số công suất của mạch:

A. $0,44$

B. $0,5$

C. $0,55$

D. $0,6$

Lời giải 

Hệ số công suất của mạch không đổi, mà $\cos  \varphi = \frac{R}{Z}$, R không đổi suy ra Z của mạch không đổi, hay ta có: $$\begin{aligned} & R^2 + (Z_{L_1} - Z_{C_1})^2 = R^2 + (Z_{L_2} - Z_{C_2})^2  \\ \Leftrightarrow  & Z_{L_1} - Z_{C_1} = Z_{C_2} - Z_{L_2} \\ \Leftrightarrow & L( \omega_1 + \omega_2) = \frac{1}{C} ( \frac{1}{\omega_1} + \frac{1}{\omega_2} ) \\ \Leftrightarrow & \omega_1 \omega_2 = \frac{1}{LC} \end{aligned} $$

Từ hệ thức trên ta có:

$$\begin{cases} Z_{L_2} = Z_{C_1} \\ Z_{L_2} = 4 Z_{L_1} & (f_2 = 4f_1) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} Z_{C_1} = 4Z_{L_1} \\ R^2 = Z_{L_1}  Z_{C_1}  &  \text{(giả thiết)} \end{cases}  \Leftrightarrow \begin{cases} Z_{C_1} = 2R \\ Z_{L_1} = \frac12 R \end{cases} $$

$$\Rightarrow \cos \varphi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (2R - \frac12 R)^2} }= \frac{2}{\sqrt{13}}$$

 Vậy là bài toán này ta đã rút ra được rằng:

Nếu giữ nguyên điện trở(R), độ tự cảm của cuộn dây thuần cảm (L), điện dung của tụ điện(C) của mạch và thay đổi tần số góc để tổng trở của mạch Z không đổi thì ta có hệ thức: $$ \boxed{\mathbf{ \color{red}{ \omega_1 \omega_2 = \frac{1}{LC}}}} $$

Và từ hệ thức này ta có: $$ \begin{cases} Z_{L_1} = Z_{C_2} \\ Z_{C_1} = Z_{L_2} \end{cases} $$

Và cũng dễ thấy khi đó: Hiệu điện thế hai đầu cuộn dây ứng với $\omega_2$ sẽ bằng hiệu điện thế hai đầu tụ điện ứng với $\omega_1$. Hay nói cách khác ta sẽ có với mỗi giá trị $\omega = \omega_1$ làm cho $U_L = U$ thì sẽ có $\omega= \omega_2 = \dfrac{1}{LC \omega_1}$ làm cho $U_C = U$.

Do đó ta sẽ suy ra được khi thay đổi tần số góc để hiệu điện thế hiệu dụng 2 đầu cuộn dây và hiệu điện thế hiệu dụng 2 đầu tụ điện đạt giá trị max thì: $U_{Lmax} = U_{Cmax}$.

___________________________________________________

Từ những điều trên ta suy ra được:

Cho mạch RLC gồm điện trở thuần R, cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L, và tụ điện có điện dung C có hiệu điện thế hiệu dụng 2 đầu đoạn mạch không đổi, tần số thay đổi được. Khi $\omega = \omega_o$ thì mạch xảy ra cộng hưởng. Khi $\omega=\omega_1$ hay $\omega= \omega_2$ ( với $\omega_1 \not= \omega_2$) thì mạch có:

+ Cùng hệ số công suất, công suất tiêu thụ toàn mạch, hiệu điện thế hiệu dụng 2 đầu ... ( tất cả các yếu tố có thể suy ra tổng trở toàn mạch Z không đổi)

+ $U_{Lmax}$ và $U_{Cmax}$.

Thì ta sẽ có CT: $$\boxed{\mathbf{\omega_1 \omega_2 = \frac{1}{LC} = \omega_o^2}}$$

Một bài toán dạng tương tự:

Cho mạch điện xoay chiều gồm $R,L,C$ mắc nối tiếp. Tần số của hiệu điện thế thay đổi được. Khi tần số là $f_1$ và $4f_1$ công suất trong mạch như nhau và bằng $80$ phần trăm công suất cực đại mà mạch có thể đạt được. Khi $f=3.f_1$ thì hệ số công suất là:   

A. $0,8$                                                   

B. $0,986$

C. $0,6$                    

D. $0,47$

$$ P = UI \cos \varphi = \frac{U^2R}{Z^2} $$

Tương tự bài trong ví dụ trên ta có: $$  Z_{C_1} = Z_{L_2} = 4Z_{L_1}$$ Công suất tiêu thụ cực đại là: $$P = \dfrac{U^2}{R}$$ Theo đề bài thì ta có:

$$\frac{U^2 . R}{R^2 + 9Z_{L_1}^2} = 0,8 \frac{U^2}{R}.$$
$\Leftrightarrow$ $\begin{cases} Z_{L_1} = \frac16 R  \\ Z_{C_1} =\frac23 R \end{cases}$

Khi $f=3f_1$ thì: $$\begin{cases} Z_{L_1} =\frac12 R  \\ Z_{C_1} =\frac29 R  \end{cases}$$

Hệ số công suất khi đó là: $$ \cos \varphi = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\frac12 R   - \frac23 R)^2}} = 0,9863$$